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Explicación coloquial a la teoría de Claude Shannon

Matemáticamente, Claude Shannon estableció una fórmula que calculaba la cantidad de información que se comunica en función del número total de mensajes que se pueden enviar, teniendo en cuenta que cualquier mensaje podría tener la misma posibilidad de ser enviado.

Sin profundizar mucho en su teoría, la cual puedes consultar en este enlace, y en el ámbito de la Informática que es el que nos ocupa, podemos sacar la siguiente fórmula como conclusión:

I = log2N

Como ya he dicho antes, esto es una explicación coloquial y muy específica a nuestras necesidades como estudiantes, así que pido el perdón de matemáticos y puritanos.

De la fórmula anterior, podemos concluir “que la cantidad de bits que necesitamos para expresar un dato del cual existen N valores posibles, es igual al logaritmo en base 2 de N”. Pero esto, a pesar de que pueda parecer muy matemático, es muy fácil de entender.

Vamos a olvidar lo anterior y llegar a esa conclusión partiendo desde otro punto. ¿Cuántas combinaciones posibles hay en función de los dígitos que podamos usar? Sabemos que si disponemos de tres dígitos, podemos escribir 1.000 números distintos (de 0 a 999). Con lo cual, hay 1.000 posibilidades distintas (000 hasta 999). Esto es porque cada dígito puede adoptar un valor entre 0 y 9, con lo cual cada dígito tiene 10 posibilidades distintas. La forma exacta de calcular el número de posibilidades es:

P = be

De donde b es el número de posibilidades en el dígito y e la cantidad de dígitos.

Siguiendo el ejemplo anterior,

P = 103 = 1.000

Esto es para notación decimal, pero nos servirá también para cualquier otra notación. Imagina que podemos usar 3 dígitos pero en formato Hexadecimal:

P = 163 = 4.096 posibilidades distintas.

Y en binario…

P = 23 = 8 posibilidades distintas.

Bien, ya nos ha quedado claro cuántas posibilidades distintas podemos obtener en función de la notación y el número de dígitos. Imaginemos ahora que lo que queremos es saber cuántos dígitos necesitaremos, como mínimo, para expresar N posibilidades distintas.

Si sabemos, a groso modo, que el Logaritmo es la operación inversa a la potencia o, dicho de otro modo, el logaritmo en base b de un número N significa la potencia a la que habría que elevar b para que resultase N, habremos resuelto el problema.

Si queremos saber cuántos dígitos necesitamos para expresar N posibilidades, usando notación decimal, por ejemplo, solo tenemos que calcular el logaritmo en base 10 de N.

Bueno, después de todo esto, podemos centrarnos en un ejemplo:

“Te indican que una empresa que tiene instalaciones en las distintas provincias de la Comunidad de Andalucía quiere asignar a cada trabajador un código binario de 10 bits, que será usado para identificarlo en su tarjeta de control de acceso y salida de su puesto de trabajo.

Se quiere que, de esos 10 bits, los X primeros sirvan para codificar la provincia de la instalación en la que trabaja, los Y siguientes bits sirvan para codificar el departamento en el que trabaja dentro de la provincia y los Z últimos bits sirvan para codificar a cada trabajador, dentro de cada departamento de cada provincia.

¿Cuáles serían los valores de X, Y y Z, sabiendo que la Comunidad de Andalucía tiene 8 provincias y que la empresa está dividida en 4 departamentos?”

Como vemos, en éste ejemplo se nos plantea decidir cuántos bits dedicaremos a la provincia y cuántos al departamento. El resto, hasta 10 dígitos será para el trabajador.

En cuanto a la Provincia, necesitamos saber cuántos bits necesitaremos, como mínimo, para expresar 8 posibilidades distintas:

X = Log28 = 3

De igual forma, necesitamos saber cúantos bits necesitaremos como mínimo para expresar 4 departamentos distintos:

Y = Log24= 2

Por último, el resto de bits hasta 10 serán identificativos del trabajador.

Z = 10 - (3+2) = 5

De esta forma tan simple hemos deducido que los tres primeros dígitos del campo identificarán a la provincia, los dos siguientes al departamento y los 5 últimos dígitos representarán a cada trabajador dentro de su provincia y departamento.

¿Cuál es el límite máximo de trabajadores en el mismo departamento de la misma provincia?

LM = 25 = 32

Espero haber aclarado en vez de liado. Este es la “imagen mental” que me hice para enteder este asunto.

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Acerca del autor

Víctor Campuzano

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